Prendiamo in considerazione un poliedro composto da P pentagoni e E esagoni (quindi il numero F delle facce sarà F=P+E) e con la caratteristica che in ogni vertice arrivano 3 facce.
Contiamo gli spigoli a partire da pentagoni e esagoni: moltiplicando il numero P dei pentagoni per 5, e aggiungendo il numero E degli esagoni moltiplicato per 6 si ottiene il numero totale degli spigoli, contato due volte perché ogni spigolo appartiene a due facce. Quindi:
5P+6E = 2S
Contiamo gli spigoli a partire invece dai vertici: dato che in ogni vertice arrivano 3 facce (quindi anche 3 spigoli), moltiplicando per 3 il numero dei vertici si ottiene il numero degli spigoli, contato due volte perché ogni spigolo ha due estremi. Quindi:
3V=2S
Sostituendo allora V=2S/3 nella relazione di Eulero V-S+F=2 si ottiene:
F-S/3 = 2,
cioè
3F=S+6
o anche
6F = 2S+12
Ma allora confrontando le due uguaglianze
5P+6E = 2S
6P+6E = 6F = 2S+12
si ottiene proprio P=12
Vale anche un altro fatto, in qualche senso “duale” del precedente e che si giustifica con passaggi del tutto analoghi: se in un poliedro tutte le facce sono triangolari (attenzione, non si richiede che i triangoli siano equilateri!) e se in ogni vertice si incontrano o 5 oppure 6 triangoli, allora sono esattamente dodici i vertici dove si incontrano 5 triangoli (mentre il numero k dei vertici dove si incontrano 6 triangoli può assumere qualunque valore, purché diverso da 1). Qualche esempio: l’icosaedro (per k=0), la Géode al Parc de la Villette a Parigi, un oggetto di design.
