Museion e 4d – Approfondimento – Matematica in città

Si è detto che l’architettura del Museion si ispira a un ipercubo, ossia all’analogo di un cubo in 4 dimensioni. Ma che cosa vuol dire? Che cosa può mai essere un cubo in 4 dimensioni?

Uno strumento assai potente per indagare la realtà è quello dell’analogia: e l’analogia può venirci in aiuto quando cerchiamo di dare un senso a concetti come quello di ipercubo o di quarta dimensione.

Come in Flatlandia, la favola immaginata da Abbott alla fine dell’Ottocento, gli abitanti non vedono e non possono vedere gli “oggetti” tridimensionali, ma possono farsene un’idea “astratta”, a partire da loro rappresentazioni sul mondo piatto bidimensionale, così anche noi possiamo, con uno sforzo di immaginazione, concepire degli oggetti quadridimensionali e farcene un’idea a partire (anche) da loro rappresentazioni tridimensionali.

E se questo sforzo di immaginazione ci sembra futile o eccessivo, si può pensare al fatto che tutto sommato anche qualcosa che ci sembra molto naturale, come parlare di quadrati, o di triangoli, o di punti, comporta in realtà un’operazione di astrazione del tutto analoga: nessuno di noi ha mai incontrato un “vero” punto, che non ha dimensioni e quindi… non esiste!

Allora, senza preoccuparsene troppo, si può “far finta che” abbia senso parlare di un mondo a quattro dimensioni e vedere che cosa ci si può immaginare in questo mondo: ad esempio, che cosa può essere un ipercubo, ovvero l’analogo in quattro dimensioni di un cubo.

Dalla terza alla quarta dimensione

cubo-ipercubo — Da un segmento a un cubo …

Per far scattare l’analogia, cerchiamo di immaginare non soltanto il cubo (in 3d), ma anche il quadrato (in 2d) e soprattutto la maniera con cui da un quadrato si passa a un cubo. Sperando che questa, per analogia, ci possa dare qualche idea su come passare da un cubo… a un ipercubo.

Possiamo allora pensare a come potremmo descrivere un cubo a un abitante di Flatlandia, che non sa che cos’è un cubo, ma conosce solo che cos’è un quadrato: potremmo dire che un cubo si ottiene muovendo un quadrato in una direzione che sia ortogonale a entrambe le direzioni individuate dai lati del quadrato, ovvero ortogonale al piano che contiene il quadrato. E sarà questo il punto difficile da immaginare per gli abitanti di Flatlandia, per i quali non è concepibile l’esistenza di una direzione ortogonale al piano in cui “abitano”.

Esattamente come anche per noi è difficile immaginare una quarta direzione che sia simultaneamente ortogonale a tutte e tre le direzioni individuate dagli spigoli di un cubo, e quindi anche a tutto lo spazio in cui viviamo.

Peraltro, se riusciamo a vincere le prime resistenze (noi le nostre, e gli abitanti di Flatlandia le loro…), possiamo provare a dare un senso a questa operazione partendo anche più da lontano: un punto che si muove in una certa direzione percorre un segmento; un segmento che si muove in una direzione ortogonale percorre un quadrato; e questi potrebbero essere i punti di partenza delle due operazioni che abbiamo poi descritto.

Si possono scaricare delle animazioni sull’ipercubo all’indirizzo http://www.matematita.it/materiale/?p=anim.sub3&a=1

Vertici, spigoli, facce e … cubi

Il fatto di ottenere il cubo (l’ipercubo), con la costruzione che abbiamo descritto, a partire da qualcosa che conosciamo (il quadrato, se siamo abitanti di Flatlandia, o il cubo se si tratta di noi terrestri), ci permette di ricavare qualche informazione anche sull’oggetto che stiamo solo immaginando.

Ad esempio, possiamo far osservare agli abitanti di Flatlandia che, se anche già non sapessero che un quadrato ha 4 lati e 4 vertici, lo potrebbero ricavare dal fatto di sapere che si ottiene muovendo un segmento in una direzione ortogonale: i vertici del quadrato sono il doppio dei vertici di un segmento (giustamente! due sul segmento di partenza e due su quello di arrivo), mentre i lati sono 4 perché ne troviamo uno nel segmento di partenza, un altro nel segmento di arrivo e due che provengono dal movimento dei due vertici del segmento di partenza.

Così possiamo (provare a) convincere gli abitanti di Flatlandia che un cubo che loro non conoscono (ma che possono pensare ottenuto dal movimento di un quadrato in una per loro inimmaginabile direzione ortogonale) ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce pensando che:

i vertici sono 8=4+4 perché ne troviamo 4 nel quadrato di partenza e 4 nel quadrato di arrivo;
gli spigoli sono 12=4*2+4 perché ne troviamo 4 nel quadrato di partenza, 4 nel quadrato di arrivo e altri 4 che provengono dal movimento dei 4 vertici nel quadrato di partenza;
le facce sono 6=1*2+4 perché ne troviamo una nel quadrato di partenza, una nel quadrato di arrivo e altre 4 che provengono dal movimento dei 4 spigoli nel quadrato di partenza.

E allora potremmo anche provare a convincerci noi che un ipercubo (pensato come ottenuto dal movimento di un cubo in una per noi inimmaginabile direzione ortogonale) ha:

16 = 8*2 vertici: 8 nel cubo di partenza e 8 nel cubo di arrivo;
32= 12*2+8 spigoli: 12 nel cubo di partenza, 12 nel cubo di arrivo e altri 8 che provengono dal movimento degli 8 vertici del cubo di partenza;
24= 6*2+12 facce: 6 nel cubo di partenza, 6 nel cubo di arrivo e altre 12 che provengono dal movimento dei 12 spigoli del cubo di partenza;
8= 1*2+6 cubi: 1 è il cubo di partenza, 1 è quello di arrivo e gli altri 6 provengono dal movimento delle 6 facce del cubo di partenza.

Tornando allora al Museion da cui siamo partiti, dove sono gli otto cubi? Li possiamo immaginare uno come quello esterno, uno come quello interno e gli altri 6 che collegano ciascuno una delle facce del cubo interno con la corrispondente faccia sul cubo esterno.

Si dirà che i due suddetti cubi, quello interno e quello esterno, non sono affatto cubi, ma parallelepipedi assai allungati: vero, ma poco ce ne importa quando stiamo solo utilizzando questo modello per farci un’idea della struttura e dei numeri di vertici spigoli e facce.
Si dirà anche che gli altri sei non sono affatto cubi e nemmeno parallelepipedi: verissimo anche questo, ma anche quando disegniamo un cubo sulla carta, le facce quadrate non sono più quadrati: in questo disegno (che possiamo immaginare come un cubo visto dall’alto) due sole sono rimaste quadrate e le altre quattro sono trapezi; in quest’altro non c’è addirittura più nessun quadrato, eppure il nostro cervello non ha nessuna difficoltà a “riconoscere” le sei facce quadrate di un cubo.