Bretzel e trecce – Approfondimento

Le trecce sono decorazioni molto comuni, usate per raccogliere i capelli, per dar forma a pane e dolci, per ornare monumenti, per realizzare maglioni e tappeti, per creare gioielli.

Le trecce sono oggetti interessanti anche dal punto di vista matematico: non solo si possono descrivere molto bene come singoli oggetti, ma si possono anche investigare le “interazioni” tra trecce, che permettono di operare con questi oggetti e di scoprirne molte proprietà, arrivando a costruire una vera e propria “algebra delle trecce”.

Un modo per descrivere una treccia è il seguente: specificare il numero di fili e metterli in ordine (ad esempio da sinistra a destra), scegliere un verso di percorrenza ed enumerare gli incroci uno dopo l’altro.

Treccia bAbAbA

Ad esempio, la treccia della figura si può descrivere così: essa ha tre fili, che, percorsi dall’alto verso il basso, si incrociano così:

  • il filo in posizione 3 (da sinistra) passa davanti a quello in posizione 2
  • il filo in posizione 1 passa davanti a quello in posizione 2
  • il filo in posizione 3 passa davanti a quello in posizione 2
  • il filo in posizione 1 passa davanti a quello in posizione 2
  • il filo in posizione 3 passa davanti a quello in posizione 2
  • il filo in posizione 1 passa davanti a quello in posizione 2

Assegnando un simbolo diverso a ogni tipo di incrocio, la treccia si può descrivere come una sequenza di questi simboli.

Il fatto più interessante, però, è che due trecce possono venir combinate insieme per ottenerne una terza, tramite la composizione. Questo significa che, date due trecce con lo stesso numero di fili, le possiamo “mettere una sotto l’altra”, saldando tra loro i fili. Ecco un esempio: le due trecce

Incroci positivi

composte in questo ordine (la prima sopra e la seconda sotto), danno la treccia seguente

comm1

La composizione è un’operazione sulle trecce, un po’ come la somma è un’operazione sui numeri interi. Della somma abbiamo imparato molte proprietà a scuola:

  • è associativa, cioè per qualsiasi tre interi a, b, c vale: (a+b)+c = a+(b+c)
  • è commutativa, cioè per qualsiasi due interi a, b vale: a+b = b+a
  • ha un elemento neutro, lo zero: per qualsiasi intero a vale: a+0 = a
  • ogni intero a ha un inverso, cioè un numero che sommato ad a0, e per questo viene indicato con -a: a+(-a) = 0

Alcune di queste proprietà valgono anche per la composizione delle trecce, ma non tutte!

Ci sono poi tantissime altre proprietà interessanti: quelle algebriche, del tipo che abbiamo appena visto, vengono sfruttate dalla crittografia. La biologia invece, usa le trecce per studiare come le catene di DNA possono avvolgersi; la robotica trasforma in trecce il movimento di automi che non devono scontrarsi; la fisica teorica usa le trecce per studiare le interazioni tra particelle.

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