Bretzel e trecce – Spunti per la scuola

Il tema delle trecce può apparire estremamente lontano dalle tematiche che si trattano nella scuola secondaria. Eppure ci sono non pochi buoni motivi per cui avrebbe senso proporre (nella scuola secondaria superiore) un laboratorio su questo tema. Può essere assai significativo per i ragazzi incontrare il concetto di struttura in un contesto diverso da una situazione numerica (quanti sono ancora convinti che la matematica siano solo numeri!); ed è particolarmente significativo dar loro un esempio di un’operazione che non è commutativa.
Le proprietà delle operazioni sono una di quelle cose che i ragazzi imparano, dalle scuole medie, come una sorta di litania assolutamente priva di senso (chi metterebbe mai in dubbio che 2+3=3+2?) e una delle poche maniere per dar significato a queste proprietà è proprio quella di mostrare loro esempi di situazioni in cui queste invece non valgono.
Si potrà quindi riflettere sulla struttura di gruppo, confrontando alcuni gruppi numerici, il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi delle trecce. Rispetto alle isometrie, che pure formano un gruppo non commutativo, le trecce hanno il vantaggio che sia gli elementi del gruppo sia l’operazione di composizione si possono facilmente visualizzare.
Inoltre potrebbe essere interessante dare un’idea, seppur intuitiva e non formalizzata, di aree della matematica che sono quasi completamente escluse dall’insegnamento scolastico, in particolare la topologia e la teoria dei gruppi. Può essere illuminante vedere che il problema di classificazione delle trecce, che è topologico, viene risolto grazie a strumenti e a un formalismo algebrico: questo può allora dare senso e motivazione per lo studio dell’algebra o di altri temi astratti.
Infine, trattando le trecce (come anche i nodi, altri oggetti topologici strettamente collegati), è abbastanza facile formulare in modo comprensibile problemi tuttora aperti, dando in questo modo un’idea della matematica “in perenne costruzione” e non monolitica e ferma a risultati di secoli fa.

In particolare gli obiettivi di un laboratorio sulle trecce potrebbero essere:

  • la descrizione algebrica di questi oggetti (per esempio proponendo di descrivere dei balletti, come nella parte iniziale di questo video);
  • l’indagine della struttura algebrica determinata dall’operazione di composizione (come descritto nella parte centrale di questo video) e il confronto con altri gruppi già incontrati (i numeri reali senza lo zero, con l’operazione di prodotto, i numeri reali o interi con l’operazione di somma, le isometrie del piano con l’operazione di composizione).

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