Ponti storti – Approfondimento

Vi sarà capitato a volte di piegare un fil di ferro metallico per qualche lavoretto in casa o per realizzare una recinzione. Se il suo diametro non è abbastanza grande, il filo ha una caratteristica plastica che consente di deformarlo in vari modi.

Ad esempio, si può incurvare un tratto rettilineo esercitando con le mani una pressione alle  sue estremità. Questo processo induce dei cambiamenti alla forma del filo da un punto di vista matematico.

Prima della deformazione, se due punti del fil di ferro poggiano su un piano, allora tutto il fil di ferro è contenuto su quel piano. Dopo la deformazione, si possono presentare due possibilità. Nel primo caso, la flessione ha indotto solo una “curvatura” in modo tale che esiste (almeno) un piano nello spazio per cui l’intero filo è tutto contenuto in tale piano. In questo caso, appoggiando il filo sul tavolo, esso si adagerà in modo da restare completamente a contatto con il tavolo. Nel secondo caso, la flessione ha indotto – oltre alla curvatura – anche una “torsione”, per cui non si riesce a trovare alcun piano dello spazio che possa contenere il filo deformato: posato sul tavolo, il filo si appoggerà alla superficie solo in alcuni punti o tratti.

Curvatura e torsione sono proprietà che caratterizzano una curva nello spazio. La prima fornisce una misura di quanto un tratto di curva si discosta dall’essere rettilinea; la seconda misura quanto una curva si discosta dall’essere contenuta in un piano.

Una curva tipicamente dotata di torsione è l’elica: pensate a un cavatappi, a una scala a chiocciola, o a questi giochi per bambini!

Una curva con torsione non nulla e curvatura costante sul lungo Talvera destro

Quest’elica (che vedete anche nell’immagine sottostante) assomiglia di più alla curva che vedete in un cavatappi, ha torsione diversa da zero e curvatura costante.

elica

Le spirali che trovate discusse alla pagina https://www.matematicaincitta.bz.it/?p=413 sono piane, quindi hanno torsione nulla (e curvatura variabile). Se pensate di prendere un’estremità di una di esse e sollevarla, vedrete formarsi un’altra specie di elica, con curvatura variabile, e torsione diversa da zero.

Curve “storte” (cioè con torsione diversa da zero) sono frequenti intorno a noi. Un esempio a Bolzano è dato dalle due passerelle di fronte al Museion: le curve che se ne ricavano, ad esempio considerando la loro linea mediana, sono curve “storte”!

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