Dodici e sempre dodici – Approfondimento

Prendiamo in considerazione un poliedro composto da P pentagoni e E esagoni (quindi il numero F delle facce sarà F=P+E) e con la caratteristica che in ogni vertice arrivano 3 facce.

cinque_sei_sei

Contiamo gli spigoli a partire da pentagoni e esagoni: moltiplicando il numero P dei pentagoni per 5, e aggiungendo il numero E degli esagoni moltiplicato per 6 si ottiene il numero totale degli spigoli, contato due volte perché ogni spigolo appartiene a due facce. Quindi:

5P+6E = 2S

Contiamo gli spigoli a partire invece dai vertici: dato che in ogni vertice arrivano 3 facce  (quindi anche 3 spigoli), moltiplicando per 3 il numero dei vertici si ottiene il numero degli spigoli, contato due volte perché ogni spigolo ha due estremi. Quindi:

3V=2S

Sostituendo allora V=2S/3 nella relazione di Eulero V-S+F=2 si ottiene:

F-S/3 = 2,

cioè

3F=S+6

o anche

6F = 2S+12

Ma allora confrontando le due uguaglianze

5P+6E = 2S

6P+6E = 6F = 2S+12

si ottiene proprio P=12

icosaedro

Un icosaedro

Vale anche un altro fatto, in qualche senso “duale” del precedente e che si giustifica con passaggi del tutto analoghi: se in un poliedro tutte le facce sono triangolari (attenzione, non si richiede che i triangoli siano equilateri!) e se in ogni vertice si incontrano o 5 oppure 6 triangoli, allora sono esattamente dodici i vertici dove si incontrano 5 triangoli (mentre il numero k dei vertici dove si incontrano 6 triangoli può assumere qualunque valore, purché diverso da 1). Qualche esempio: l’icosaedro (per k=0), la Géode al Parc de la Villette a Parigi, un oggetto di design.

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