I conti tornano? – Spunti per la scuola

Il principale motivo di interesse nel proporre nella scuola secondaria di secondo grado problemi come quello proposto sta nella possibilità di legare l’algebra a delle rappresentazioni visive: quella che sembra una formula oscura e misteriosa assume un significato e una giustificazione quasi immediata se accompagnata da una rappresentazione adatta.

Usare le immagini per aggiungere significato non deve però far rinunciare alla necessaria formalizzazione. In questo senso può essere opportuno discutere con gli studenti la necessità di dimostrare in modo algebrico quello che l’immagine lascia intuire. Per far comprendere che un’immagine può sì aiutare l’intuizione, ma non è una dimostrazione rigorosa e a volte può anche trarre in inganno, si potranno proporre problemi come il seguente, anch’esso divenuto ormai un classico (immagine da questa pagina, che contiene anche un altro problema analogo).

Come mai nel triangolo B “manca” un quadratino anche se i due triangoli sono composti dagli stessi pezzi e hanno quindi area uguale?

Un altro motivo di interesse è la possibilità di introdurre le dimostrazioni per induzione, uno strumento molto potente e largamente usato. Nei problemi come quello proposto, una volta formulata una congettura sulla formula, magari proprio con l’aiuto di una rappresentazione visiva, solitamente è abbastanza semplice dimostrare la congettura per induzione. Il punto difficile è spesso fare la congettura corretta! Questo esempio, se opportunamente commentato e discusso, può dare ai ragazzi l’idea che fare matematica non significa (solo) fare conti, ma che, anzi, questi possono essere la parte più facile e più meccanica del “fare matematica”: fare conti può essere necessario, ma diventa inutile se non se ne comprende il significato e si perde di vista lo scopo.

Infine, volendo allargare il tema, si potranno considerare non solo somme finite, ma anche infinite, cioè serie. Anche in questo caso ci sono molte rappresentazioni eloquenti, e spesso è sconcertante per i ragazzi scoprire che esistono serie convergenti, convincersi cioè che la somma di infiniti termini può essere finita. L’immagine seguente è ripresa da divulgamat, sito spagnolo di divulgazione della matematica. In particolare si vedano questa e questa pagina per altri esempi.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1

Altri esempi, presentati tramite degli applet interattivi, sono disponibili sul sito portoghese di Atractor, a partire da questa pagina.

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