Giro per quattro ponti – Spunti per la scuola

Problemi di percorribilità sui grafi, come quelli delineati in questa scheda, si possono proporre a ragazzi di ogni età: infatti, non richiedono prerequisiti particolari (e quindi sono accessibili anche a bambini assai piccoli, con i quali si possono gestire in maniera “teatrale”), ma richiedono una certa “igiene di ragionamento” (mettere in ordine le informazioni, utilizzare correttamente l’intuizione che c’entri qualcosa il pari o dispari,…) che non è facile da raggiungere neanche per i più grandi.

Nelle situazioni in cui (magari per la giovane età delle persone a cui si sottopone il problema) non è pensabile arrivare a una “dimostrazione” delle affermazioni coinvolte (la possibilità o impossibilità di un percorso), c’è tuttavia una maniera molto semplice per rendersi conto se un ragazzo ha capito il “succo” della situazione o se sta procedendo a caso: quella di chiedergli di costruire altri esempi.

Costruire esempi di grafi dei tre tipi (grafi che si possono percorrere, partendo da un punto qualsiasi e ritornandovi; grafi che si possono percorrere, ma solo partendo da un particolare vertice e arrivando in un altro diverso, o viceversa; grafi che non si possono percorrere) è un’ottima maniera per consolidare una prima idea intuitiva che ci si è fatti della situazione.

Spesso, ad esempio, una prima risposta che può provenire dai ragazzi è legata (giustamente) al pari/dispari, ma, erroneamente, ritiene che la cosa importante è che siano pari (o dispari) il numero dei vertici (o il numero degli spigoli). E da qua il docente può prendere spunto per chiedere ai ragazzi di costruire esempi dei tre diversi tipi di grafi con un numero di vertici pari (risp. dispari) e un numero di spigoli pari (risp. dispari)… in tutti i modi possibili.

Gli altri ponti di Bolzano si possono pure prendere in considerazione per costruire altri esempi, però… Bolzano ha un limite rispetto a Königsberg, ovvero il fatto che le zone in cui la città è divisa dal fiume (ovvero i vertici del grafo) sono esattamente tre. Questo significa che (anche se si abbattessero alcuni ponti esistenti, o se ne costruissero di nuovi!) non riusciremmo mai a trovare un sistema di ponti che sia non percorribile (perlomeno senza arrivare dove si parte).

Infatti, è sempre pari il numero di vertici dispari (perché?); e quindi, se il numero totale dei vertici è 3, il numero di vertici dispari può essere 0 (nel qual caso c’è un ciclo euleriano), oppure 2 (nel qual caso un ciclo euleriano non c’è, ma c’è un percorso). Per trovare un grafo che non sia percorribile, dovremmo avere almeno 4 vertici!

Infine, per le scuole superiori, segnaliamo le prime attività del kit di laboratorio Grafi e superfici: la scheda P (in due versioni, una più elementare per le scuole a matematica debole e una più approfondita per quelle a matematica forte) tratta proprio il problema dei ponti di Königsberg; le schede D, G e C trattano altri problemi schematizzabili con grafi. Le schede si trovano anche, commentate per i docenti, nel volume:
M. Bertolini, G. Bini, P. Cereda, O. Locatelli – Passeggiare tra le superfici, Materiale per i Quaderni a Quadretti, Mimesis, 2012.

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