Numeri grandi – Approfondimento

La leggenda legata all’invenzione del gioco degli scacchi illustra in maniera molto efficace la velocità di una crescita cosiddetta esponenziale.

Moltiplicando ogni volta per 2 il numero di chicchi di riso da disporre su una casella,

  • nella prima casella si trova 1 chicco di riso, e 1 = 20 ;
  • nella seconda casella si trovano 2 chicchi di riso, 2 = 21 e quindi nelle prime due caselle il numero totale di chicchi di riso è 1+2 = 3 = 4-1 = 22-1;
  • nella terza casella si trovano 4 chicchi di riso, 4 = 22 e quindi nelle prime tre caselle il numero totale di chicchi di riso è 1+2 + 4 = 7 = 8-1 = 23-1;

Si può verificare (vedi osservazioni per l’insegnante) che la crescita continua in questo modo e quindi

  • nella n-esima casella si trovano 2n-1 chicchi di riso e il numero totale di chicchi di riso sulle prime n caselle è di 1+2+4+…+ 2n-1 = 2n-1.

Il punto è allora che 2n cresce molto, molto velocemente al crescere di n, anche molto più di quanto ci si immagini.

Facciamo un po’ di conti e, visto che non ci interessa un valore preciso, ma ci serve solo avere una stima molto grossolana, non ci metteremo certo a calcolare questi numeri così grandi, ma cercheremo solo di stimare quanto sono grandi, per esempio quante cifre hanno.

Si comincia con numeri di 1 cifra: 1-2-4-…; si raggiunge un numero di due cifre alla quinta casella: 16 = 24. Cerchiamo in quale casella si raggiunge un numero di tre cifre: 64 = 26, mentre 128 = 27, quindi all’ottava casella si comincia ad avere un numero di tre cifre; per un numero di quattro cifre occorre aspettare l’undicesima casella, dato che il primo è 1024 = 210.

Prendiamo ora qualche scorciatoia, cioè “facciamo finta” che 1024 sia 1000: è più facile fare i conti con 1000 rispetto a 1024 e, dato che 1024 è più grande di 1000, saremo sicuri che i numeri di chicchi di riso coinvolti saranno ancora più grandi di quelli che già otteniamo usando 1000 al posto di 1024 = 210.

220 = 210 • 210 e quindi è più grande di 10001000, che a sua volta è un milione 1.000.000, cioè un numero di sette cifre. Siamo allora sicuri che alla 19-esima casella avremo un numero di almeno sette cifre. Potrebbe essere anche di più (ricordiamoci che stiamo trattando 1024 come se fosse 1000!), ma siamo sicuri che almeno sette cifre le ha. Vi sembra poco? E allora andiamo avanti.

230 = 210  210 210, quindi è più grande di 1000 1000  1000, che è pari a 1.000.000.000, cioè è un numero di dieci cifre.

240 = 210 210 210 210 è più grande di 1.000.000.000.000, che è un numero di tredici cifre.

250 è più grande di 1.000.000.000.000.000, che è un numero di sedici cifre.

260 è più grande di 1.000.000.000.000.000.000, che è un numero di 19 cifre.

Ma anche questi numeri ci dicono poco, e abbiamo davvero poca sensibilità per immaginarli.

Si potrebbe anche stimarne il volume, come abbiamo fatto e vi suggeriamo di verificare, per dare l’altezza di uno strato di riso che copre una zona vasta quanto l’Italia.

Si può anche vedere in rete un video molto espressivo:

http://www.youtube.com/watch?v=KnQZ3Mg6upg.

cominciando a piazzare i chicchi di riso su una scacchiera ubicata all’aperto, in un parco di Berlino, si vede ben presto come la scacchiera, pur grande, non è sufficiente ad accogliere i mucchi di riso: il punto di vista si sposta e vediamo presto una montagna di riso che cresce fino a diventare più alta della torre delle televisione in Alexander Platz. Per farci capire meglio che cosa succede, il punto di vista cambia nuovamente e invece di una montagna abbiamo adesso uno strato di riso, uniformemente alto circa un metro, che continua ad allargarsi… fino a che alla 64-esima casella ricopre l’intera Germania.

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