Tassellare – Approfondimento

Abbiamo detto che è impossibile ricoprire la scacchiera con tasselli che occupano due caselle vicine, lasciando libere soltanto due caselle opposte in diagonale. Ma come si può esserne sicuri?

Può sembrare molto sconcertante, e anche molto difficile, “dimostrare” che qualcosa è impossibile. Dire “è impossibile” è molto diverso dal dire “non mi è riuscito” o “non lo so fare”: per giustificarlo, abbiamo bisogno di un’argomentazione, e non basta dire che ci abbiamo provato centinaia di volte e non ne siamo venuti a capo!
In effetti un’argomentazione c’è, ed è anche molto semplice; e può essere sconcertante accorgersi di quanto è semplice: basta pensare ai colori bianco e nero della colorazione a scacchiera! Due caselle che sulla si toccano per un lato sono una bianca e una nera, mai dello stesso colore. Invece, le due caselle disposte ad angolo, che dobbiamo evitare, sono dello stesso colore (entrambe bianche o entrambe nere): se, ad esempio, sono entrambe bianche, sul quadrato 4×4 resterebbero da coprire 8 caselle nere e 6 bianche (e sulla scacchiera 8×8 resterebbero da coprire 30 caselle bianche e 32 nere): non le potremo mai coprire eliminando, a ogni passaggio, una coppia fatta da una casella bianca e una nera!
Invece è possibile il secondo problema.

Nelle figure si vedono qui due esempi di soluzioni, uno su un quadrato e l’altro su una scacchiera 8×8. Ma… questi esempi ancora non bastano: avevamo detto infatti che si poteva scegliere in maniera arbitraria la casella da eliminare. E come facciamo, da questi soli due esempi, a essere sicuri che si possa risolvere il problema anche eliminando una qualsiasi delle altre 15 caselle (nel quadrato 4×4) o delle altre 63 (nella scacchiera 8×8)?

Potremmo certo analizzare tutti i casi possibili, uno a uno, ma… i matematici sono pigri e preferiscono un’argomentazione che eviti loro questa fatica, e che li renda sicuri che “si può fare”, anche senza provare ogni volta direttamente.

La chiave che ci permette di raggiungere questa sicurezza (e anche la sicurezza che la stessa operazione si potrebbe fare su una scacchiera 16×16, o anche 32×32, o anche…) è il fatto che la mattonella composta da tre quadrati (d’ora in poi la chiameremo “la sedia”, come spesso la chiamano i bambini) è un cosiddetto rep-tile (in inglese “tile” significa mattonella e “rep” sta per ripetizione, anche se naturalmente si vuole insieme fare un gioco di parole con dei rettili che qui non c’entrano molto…). Dire che la sedia è un rep-tile significa che si possono usare quattro sedie per costruirne un ingrandimento, ovvero una sedia più grossa, con tutti i lati di lunghezza doppia rispetto a quelli della sedia originaria, come in questa figura.

Ma allora… il gioco è fatto.

Per un quadrato 2×2, in qualunque posizione si scelga una delle quattro caselle, le altre tre possono essere ricoperte da una sedia: basta girarla!

Per un quadrato 4×4, in cui sia stata scelta una delle 16 caselle, possiamo immaginare il quadrato diviso in quattro quadrati 2×2: uno di questi quattro conterrà la casella blu che non dobbiamo coprire, e le altre tre caselle di questo quadrato 2×2 si possono coprire con una sedia. Gli altri tre quadrati 2×2 costituiscono insieme un ingrandimento della sedia stessa: quindi, il fatto che questa sia un rep-tile ci permette di ricoprirli con altre quattro sedie.

Ma allora è facile immaginare come andare avanti: in un quadrato 8×8, in cui sia stata scelta una delle 64 caselle (una qualsiasi! Ne diamo qua> due esempi diversi, per ciascuno dei quali potete vedere tre stadi del procedimento), possiamo immaginare il quadrato diviso in quattro quadrati 4×4: uno di questi quattro conterrà la casella blu che non dobbiamo coprire, e, per quanto visto prima, le altre quindici caselle di questo quadrato 4×4 si possono ricoprire con cinque sedie. Gli altri tre quadrati 4×4 costituiscono un “doppio ingrandimento” della sedia (ovvero, una figura con la stessa forma della sedia, ma con i lati di lunghezza quadrupla): li possiamo ricoprire con quattro mattonelle ciascuna delle quali è un “ingrandimento semplice” della sedia (lati di lunghezza doppia) e si ricopre quindi a sua volta con quattro sedie.

E potremmo andare avanti… Questo problema è un esempio di un procedimento assai tipico in matematica, ovvero un procedimento di tipo ricorsivo. La cosa funziona così: conosciamo un punto di partenza (“datemi un punto di appoggio e solleverò il mondo…”) e conosciamo come, a partire da un certo stadio del processo, si può passare allo stadio successivo. Allora sappiamo andare avanti…

Come suggeriscono le immagini, è un po’ come se si avesse tante tessere del domino messe in fila: se con un piccolo facciamo cadere la prima, poi la prima fa cadere la seconda e… cadono tutte!

Nel nostro caso, il punto di partenza è il fatto che togliendo un quadratino (qualsiasi) a un quadrato 2×2 sappiamo ricoprire i restanti tre quadrati con una sedia e il passaggio da uno stadio a quello successivo (la scacchiera di lato doppio) è garantito dal fatto che la mattonella che stiamo usando è un rep-tile; e quindi la mattonella “doppia” si ricopre con quattro mattonelle “semplici”. Siamo così sicuri che, continuando a raddoppiare il lato della scacchiera (e quindi anche su una scacchiera di lato 2^n, con n arbitrario), comunque si tolga una casella, si possono ricoprire le rimanenti con delle mattonelle-sedie che hanno la forma di tre quadrati ad angolo.

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