I conti tornano? – Approfondimento

I numeri dispari compresi fra 1 e 53 sono in tutto 27: infatti, se ognuno di essi viene accoppiato con il numero pari che lo segue (1 con 2, 3 con 4, 5 con 6 e così via, fino a 53 con 54) otteniamo un insieme di 54 numeri, metà dei quali sono pari e metà dispari.

Sperimentando sulle prime somme:

1 + 3 = 4 = 2 ⋅ 2
1 + 3 + 5 = 9 = 3 ⋅ 3
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 ⋅ 4,

salta subito agli occhi qualcosa che si ripete con regolarità: la somma dei primi 2 numeri dispari è il quadrato di 2, quella dei primi 3 il quadrato di 3, quella dei primi 4 il quadrato di 4. Questo ci porta a dire che la somma dei primi 27 numeri dispari è il quadrato di 27:

1 + 3 + 5 + 7 + … + 51 + 53 = 27 ⋅ 27.

È effettivamente così, ma per esserne sicuri non possiamo accontentarci della nostra intuizione, basata sul risultato di pochi esperimenti: dobbiamo trovare un argomento che abbia una validità generale. Le strade sono molte e ne esploreremo qualcuna, sviluppando in particolare due classiche dimostrazioni, molto semplici, una numerica e l’altra geometrica. Con un diverso schema geometrico possiamo poi ottenerne una terza.

Forse molti ricorderanno che, da bambino (almeno così si racconta), il grande matematico Gauss scoprì un modo elementare per trovare la somma dei primi 100 numeri interi positivi. Scrivendo questa somma nel solito modo (“in avanti”) e poi “capovolgendola”, Gauss notò che il calcolo richiesto, faticoso da eseguire, poteva essere ricondotto a un semplice prodotto.

Ripercorriamo la sua idea. Chiamiamo X la somma cercata:

1 + 3 + 5 + … + 49 + 51 + 53 = X

in modo che anche

53 + 51 + 49 + … + 5 + 3 + 1 = X.

Sommando in senso verticale (“per colonne”) i numeri di queste due righe, si nota che 1 + 53 = 54, 3 + 51 = 54, 5 + 49 = 54, e così per tutte le altre coppie. In tal modo si ottiene:

54 + 54 + 54 + … + 54 + 54 + 54 = 2X

dove a sinistra c’è la somma di 27 addendi tutti uguali. Ne segue che

2X = 27 ⋅ 54,

X = 27 ⋅ 27 = 729.

Allo stesso modo potremmo calcolare la somma dei primi 27 numeri pari e trovare ad esempio:

2 + 4 + 6 + … + 52 + 54 = 27 ⋅ 28 = 756.

Infatti, se ora

Y = 2 + 4 + 6 + … + 52 + 54

allora si ha anche

Y = 54 + 52 + … + 6 + 4 + 2

e quindi

2Y = 56 + 56 + … + 56 + 56 = 27 ⋅ 56.

La “dimostrazione geometrica” sta tutta nell’immagine che segue, nella quale il numero 1 viene rappresentato da un quadratino di partenza, mentre i numeri dispari maggiori di 1 vengono interpretati come particolari “cornici a forma di L rovesciata”: aggiunte via via al quadratino di partenza, esse producono quadrati sempre più grandi. Più precisamente si vede come, affiancando una di queste particolari “cornici” ad un quadrato, formato da un certo numero di righe ed altrettante colonne di quadratini unitari, si possa ottenere il quadrato con una riga e una colonna in più.

quadrati

Modificando la disposizione dei quadratini si può ottenere un’altra dimostrazione: lo schema che utilizziamo adesso si ispira alla “forma a gradini” dei tetti di certe case e palazzi tipici di Bolzano (e più in generale del Nord Europa).

tetto_bz

Costruiamo come in figura un particolare schema di quadratini (ognuno di lato unitario), affiancandone 2 nella prima riga, 4 nella seconda, 6 nella terza e così via, sempre aumentando di uno ad ogni estremità, fino a collocarne 54 nell’ultima riga – la ventisettesima.

tetto

Consideriamo poi il triangolo rosso, i cui lati obliqui sono le diagonali dei quadratini alle estremità: ebbene, la somma cercata 1+3+5+7+ … +51+53 coincide con l’area di questo triangolo! Infatti, l’area della porzione del triangolo rosso che cade in ogni riga coincide con il numero di quadratini (ognuno di area 1) in quella riga, meno 1! Il motivo è che dobbiamo togliere i due “mezzi quadratini” alle estremità…

Ad esempio, nella terza riga ci sono 6 quadratini, ma solo 5 contribuiscono all’area del triangolo, poiché due metà vanno scartate (nella prima riga, contribuisce all’area solo uno dei due quadratini; nella seconda, solo tre dei quattro, e così via).

Adesso è facile concludere: l’area A del triangolo rosso è “base per altezza diviso 2”, ossia

A = (54⋅27)/2 = 27⋅27

poiché i quadratini nell’ultima riga sono 54 e le righe sono 27. Quindi

1+3+5+7+ … +51+53 = A = 27⋅27 = 729.

È evidente che il risultato trovato ha validità generale: nel linguaggio della matematica potremmo dire che “la somma dei primi n numeri dispari vale n2”.

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