Spirali – Approfondimento

Le spirali sono tra le prime curve conosciute e studiate nell’antichità, già dai matematici greci. Intuitivamente, una spirale è una curva che si avvolge attorno a un punto fissato, chiamato centro.
Ad esempio, se arrotoliamo una corda su se stessa appoggiandola su un piano, otteniamo proprio una forma a spirale, simile a quella dei riccioli barocchi che decorano alcuni balconi di Bolzano.

Una proprietà che la caratterizza è la distanza costante tra spire successive: nel caso della corda avvolta su se stessa, messa in modo che tra una spira e la successiva non sia lasciato spazio libero, questa proprietà è conseguenza del fatto che la corda ha uno spessore costante.

cordaavvolta

In termini più formali, se tracciamo una semiretta con origine nel centro, essa interseca la spirale in una quantità infinita di punti, che individuano dei segmenti sulla semiretta. A parte il primo segmento – quello che ha un estremo nel centro della spirale – tutti gli altri hanno la stessa lunghezza. Questo vale per qualsiasi semiretta con origine nel centro: i segmenti staccati dalla spirale sulla semiretta, a parte il primo, hanno sempre la stessa lunghezza, anche se sono su semirette diverse. La lunghezza dei segmenti può essere vista come il “passo” della spirale.

spiralearchimedea

Le spirali con questa proprietà sono chiamate spirali archimedee. Per generarle possiamo ricorrere a un procedimento meccanico, già noto ad Archimede: prendiamo un disco e facciamo muovere un punto lungo un suo raggio, dal centro verso l’esterno, a velocità costante. Contemporaneamente, mentre il punto si muove lungo il raggio, facciamo ruotare il disco a velocità costante. La curva descritta dal punto è proprio una spirale archimedea!
Infatti, mentre il disco compie un giro (o un angolo qualsiasi) il punto che descrive la curva si allontana dal centro di una quantità fissata, proporzionale al passo della spirale, dato che le due velocità – di rotazione e di allontanamento dal centro – sono costanti.

AmmoniteFossil

La spirale che si può osservare nelle conchiglie fossili assomiglia invece a un’altra curva: la spirale logaritmica. Quest’ultima forma un angolo costante con tutte le semirette uscenti dal centro.
In altre parole, se disegniamo una semiretta uscente dal centro (come quelle rosse nella figura seguente), essa interseca la spirale logaritmica in infiniti punti. L’angolo (segnato in verde) tra la semiretta (rossa) e la tangente (blu) alla spirale in ognuno di questi punti è costante e questo vale per qualsiasi semiretta con origine nel centro. Per questo motivo, la spirale logaritmica viene anche chiamata spirale equiangolare.

spiralelogaritmica

Stavolta i segmenti staccati sulle semirette che partono dal centro non hanno lunghezza costante (come accadeva per la spirale archimedea): se fissiamo una semiretta, i segmenti staccati dalla spirale logaritmica sono sempre più lunghi man mano che ci allontaniamo dal centro.
Più precisamente, sono in progressione geometrica, cioè se le lunghezze di tre segmenti consecutivi sono a, b, c, allora vale

a : b = b : c

progressione

Un’altra caratteristica che differenzia la spirale archimedea da quella logaritmica è che quest’ultima “è infinita in entrambe le direzioni”, cioè non ha un’origine. Infatti se la percorriamo dall’esterno verso l’interno, pur avvicinandoci sempre più al centro, non lo raggiungiamo mai. Se potessimo fare uno zoom sulla parte vicina al centro, vedremmo sempre la stessa curva, eventualmente ruotata: fare uno zoom dà lo stesso effetto di una rotazione attorno al centro.

Le spirali di cui abbiamo parlato hanno una descrizione – tramite un’equazione parametrica – abbastanza semplice, che può essere usata per disegnarle con un software geometrico come GeoGebra. Con il software si possono sperimentare le proprietà che abbiamo descritto: misurare e confrontare segmenti e angoli, ruotare e zoomare. Vedi pagina dei link.

La spirale logaritmica si chiama così proprio per il modo in cui si scrive una sua equazione parametrica, che coinvolge la funzione logaritmo.

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