In che senso si può dire che, dal punto di vista della simmetria, il disegno sul tetto del Duomo di Bolzano e un normale muro di mattoni sono proprio la stessa cosa?
Per analizzare la simmetria di una figura, si può isolare un certo motivo la cui ripetizione genera l’intero disegno e analizzare poi lo schema con cui questo motivo si ripete, come se si dovesse dare a un artigiano le istruzioni per come realizzare il disegno.
Come si vede nella figura qui sopra, il disegno di un muro di mattoni si può ricostruire a partire da un modulo che immaginiamo di inserire in un rettangolo che abbia le pareti fatte di specchi; ma, come si vede in quest’altra immagine,
anche il disegno del tetto del Duomo si potrebbe ricavare nello stesso modo. Certamente il disegno da inserire nella camera di specchi è diverso nei due casi, ma la maniera in cui si ripete, obbedendo agli specchi, è esattamente la stessa!
Invece, la pavimentazione della piazza Walther ha uno schema di simmetria diverso rispetto alla decorazione del tetto del Duomo e non si potrebbe ottenere inserendo un disegno in una camera di specchi rettangolare.
Per esserne sicuri, basta osservare che in questa pavimentazione ci sono assi di simmetria, ma tutti paralleli fra di loro, mentre per la decorazione del tetto del Duomo (come per il muro di mattoni, come per qualunque disegno ricostruibile a partire da un modulo inserito in una camera di specchi rettangolare) ci sono assi di simmetria in (almeno) due direzioni diverse, e fra loro perpendicolari: le direzioni degli specchi.
Un asse di simmetria per un certo disegno è una retta con la caratteristica che, disponendo (o piuttosto immaginando di disporre!) uno specchio lungo questa retta, perpendicolarmente al piano del disegno, in modo tale da nasconderne una metà, la metà visibile insieme alla metà riflessa ricostruiscono un disegno identico a quello originario. E naturalmente stiamo qua riferendoci al disegno che continua a ripetersi all’infinito, quindi immaginando di prolungarlo al di là della piazza o del foglio di carta!
Invece, lo schema di simmetria della pavimentazione della piazza Duomo è identico a quello che si ritrova a Rovereto, su una colonna del palazzo Ben (vedi immagini sottostanti Colonna e Particolare del palazzo Ben a Rovereto (vedi le immagini qui sotto).
Anche in questo esempio (sempre che lo immaginiamo prolungato all’infinito, ben al di là del piccolo spazio sulla colonna) ci sono assi di simmetria tutti paralleli fra loro, in una sola direzione, quella verticale.
Naturalmente in generale non basterà vedere se gli assi di simmetria sono tutti paralleli fra loro per identificare lo schema di simmetria di un disegno: ci basta però, in questo caso, per distinguere fra la pavimentazione della piazza e la decorazione del tetto.
Il fatto che i cosiddetti gruppi dei mosaici (cioè i tipi di simmetria dei disegni che si ripetono periodicamente nel piano in più di una direzione) siano proprio 17, e che quelli dei fregi (i disegni piani che si ripetono in una sola direzione) siano solo 7 è un risultato che ci può sembrare molto strano. Se immaginiamo ad esempio di partire con un disegno e continuarlo secondo una qualche “regola”, ci può inizialmente sembrare di avere a disposizione una libertà infinita: e invece non è così. I possibili “schemi” di simmetria sono un numero finito e anche relativamente piccolo. Si tratta di un risultato che è stato studiato prima in ambito tridimensionale (dai cristallografi, non dai matematici) verso la fine dell’Ottocento, sicché il risultato piano è stato ottenuto come un “sottoprodotto” di quello tridimensionale, in cui i casi possibili sono 230.
