Numeri molto grandi – Spunti per la scuola

Per i ragazzi delle scuole superiori, l’argomentazione che abbiamo qui lasciato in sospeso può fornire una buona occasione per introdurre i ragazzi al principio di induzione, che è un potentissimo strumento in matematica.
Ad esempio,  vogliamo verificare l’affermazione che abbiamo fatto, e cioè
P(n) : nella n-esima casella si trovano 2^n-1 chicchi di riso e il numero di chicchi di riso sulle prime n caselle è di 1+2+4+…+ 2^n-1 = 2ⁿ-1.
E questo vale per tutti i numeri n>0.

È sufficiente verificare due cose:

• che sia vero un punto di partenza, ad esempio che la proprietà è vera per n=1 (e qui siamo a posto, perché già l’abbiamo verificata addirittura in tre casi: per n=1, per n=2 e per n=3)
• che, se è vera la proprietà per un certo numero k, allora è vera anche per k+1.

Allora possiamo ipotizzare che sia vero che il numero di chicchi di riso nella k-esima casella è 2^k-1 e il numero di chicchi di riso nelle prime k caselle è 2^k-1 e guardiamo cosa succede nella (k+1)-esima casella: il numero di chicchi di riso è il doppio del numero nella casella precedente, e quindi 2× 2^k-1 = 2^k= 2^(k+1)-1

È vero quindi quanto asserisce la prima parte della proprietà P(k+1).
Per quanto riguarda la somma dei chicchi di riso nelle prime k+1 caselle, possiamo usare il fatto che la somma dei chicchi nelle prime k caselle dà 2^k-1 chicchi e sommare a questi il numero di chicchi nella (k+1)-esima casella, cioè 2^k. Si ottiene
2^k-1 + 2^k = 2× 2^k – 1= 2^(k+1)-1
e quindi quello che volevamo dimostrare.

Se non vogliamo usare il principio di induzione, ma vogliamo approfittare di questa occasione per richiamare ai ragazzi un po’ di algebra, si potrebbe anche partire dalla relazione
xⁿ-1 = (x-1)(x^n-1+ x^n-2+…+ x²+x+1)
Per x = 2, questa dà proprio la relazione che cercavamo:
2ⁿ-1 = 2^n-1+ 2^n-2+…+ 4+2+1.

Questa maniera presenta un ulteriore vantaggio: ovvero quello di far “toccare con mano” ai ragazzi che un’identità algebrica (nella variabile x, ad esempio, come qua) rappresenta qualcosa che è vero qualunque numero si vada a sostituire alla x.

Questo fatto è ovvio per l’insegnante, che lo dà spesso per sottinteso, ma è facile che i ragazzi viceversa percepiscano il mondo dell’algebra e quello dell’aritmetica come due mondi diversi, e senza ponti tra l’uno e l’altro. Quanti ragazzi, ad esempio, hanno chiaro che potrebbero utilizzare il “prodotto notevole”
(x+1)(x-1)=x²-1
per ottenere immediatamente, senza calcoli complicati, quanto fa 1001×999?