Possiamo pensare la superficie terrestre come una sfera; si tratta naturalmente di un’approssimazione, poiché la Terra è “schiacciata” ai Poli. Inoltre, così facendo, non teniamo conto di altri fattori, come la presenza di montagne e valli, che rendono la superficie piuttosto irregolare. Questa approssimazione è però sufficiente per raggiungere il nostro scopo, cioè capire come scegliere il percorso di lunghezza minima tra due punti sulla Terra, anche molto distanti uno dall’altro. Questo può servire ad esempio per trovare la rotta aerea più breve tra due aeroporti, magari situati in continenti diversi.
In generale, possiamo definire la distanza tra due punti come la lunghezza della linea più breve che li collega. Sul piano questo è facile: il segmento di linea retta con estremi nei punti dati è effettivamente il percorso più breve tra quelli che li collegano. La lunghezza del segmento fornisce quindi la distanza tra i due punti. Possiamo rendercene conto in un modo molto concreto: se fissiamo due punti sul tavolo e prendiamo una cordicella, tenendola in tensione in modo che colleghi i due punti e che formi il tratto più breve possibile, vediamo che si dispone proprio lungo un segmento.
Ma se ripetiamo lo stesso esperimento su un mappamondo, la cordicella tesa è costretta a seguirne la curvatura, disponendosi lungo una linea particolare. Quale sarà? Se i punti fissati stanno sull’Equatore, la corda descriverà una parte dell’Equatore. In modo analogo, se prendiamo i due punti su uno stesso meridiano, la corda seguirà quel meridiano.
Le sorprese iniziano quando scegliamo due punti su un parallelo diverso dall’Equatore: stavolta la cordicella tesa non si dispone lungo il parallelo, ma se ne allontana per trovare un percorso più breve.
Che cosa hanno di diverso l’Equatore e un qualsiasi altro parallelo? Entrambi sono ottenuti intersecando la sfera (il mappamondo) con un piano perpendicolare all’asse terrestre (la retta che passa per i due Poli). Il piano dell’Equatore passa però per il centro della sfera, mentre quello del parallelo no. Questo fa sì che l’Equatore sia il più lungo tra tutti i paralleli.
Anche i meridiani stanno sull’intersezione della superficie terrestre con piani passanti per il centro della Terra (e più precisamente per l’asse terrestre). A differenza dell’Equatore, però, il meridiano costituisce solo metà di una circonferenza. Nella figura seguente l’Equatore è disegnato in blu, un parallelo in verde e un meridiano in rosso.
Le circonferenze sulla sfera si ottengono tutte intersecandola con dei piani, come nell’immagine seguente. Esse non possono avere raggio grande a piacere: quelle di raggio massimo (come quella blu) si ottengono intersecando la sfera con un piano passante per il suo centro. Per questo motivo sono chiamate circonferenze massime. Esse sono il corrispondente sulla sfera delle rette della geometria piana, proprio perché rendono minima la lunghezza delle linee con estremi nei punti fissati.
L’Equatore è una circonferenza massima, cioè una “retta sferica”. I meridiani sono invece semicirconferenze massime, cioè “semirette sferiche”.
Per ogni punto sulla sfera passano infinite rette sferiche. Quante ne passano per due punti?
Dobbiamo distinguere due casi: se i punti sono antipodali, cioè sono posti su una retta (dello spazio tridimensionale) passante per il centro della sfera, allora per essi passano infinite rette sferiche! Basta pensare al caso dei due Poli: essi sono posti sull’asse terrestre e ci sono infinite circonferenze massime che li contengono entrambi, tutti i “doppi meridiani”.
Se invece i due punti non sono antipodali, per essi passa una sola retta sferica! Infatti, ogni retta sferica è data dall’intersezione della sfera con un piano passante per il centro. Poiché il piano deve passare anche per i due punti dati, questa condizione lo rende unico.
È naturale aspettarsi che la distanza sulla sfera tra due punti non antipodali sia la misura dell’arco di retta sferica “compreso tra i due punti”. Ma a ben guardare, sulla retta sferica che li contiene (che è unica, per quanto appena visto) i due punti delimitano non uno, ma due segmenti sferici. Dobbiamo quindi scegliere il più corto dei due.
In definitiva, la distanza di due punti antipodali su una sfera di raggio R sarà πR, poiché ogni circonferenza massima – di raggio R – ha lunghezza 2πR; invece se i due punti non sono antipodali la loro distanza è la misura dell’arco più breve (con estremi nei due punti fissati) della circonferenza massima che li contiene.
Questa misura si può facilmente ricavare dalla proporzionalità fra lunghezza d’arco L e misura a dell’angolo al centro corrispondente: basta ricordare che la circonferenza massima, che corrisponde all’angolo giro, misura 2πR.
In questo modo possiamo definire anche le distanze (approssimate) tra punti sulla superficie terrestre. Per calcolarle abbiamo bisogno di conoscere il raggio (medio) della Terra e le coordinate dei punti, ad esempio in termini di latitudine e longitudine.
