Il tema dei poliedri è un tema ingiustamente sottovalutato nella scuola: purtroppo, in molti casi i ragazzi incontrano soltanto prismi e piramidi e magari li incontrano solo per imparare qualche formula relativa al calcolo di superfici laterali o volumi.
Invece, i poliedri si prestano a un’enorme varietà di attività e di osservazioni, anche in considerazione del fatto che sono i primi oggetti geometrici che si incontrano nella vita di tutti i giorni: non si incontrano certo quadrati, né rette, né punti…! Certamente anche cubi e dodecaedri matematici sono astrazioni rispetto agli oggetti reali, però il livello di mediazione è ben diverso rispetto a qualcosa che non ha spessore… ovvero che non esiste!
Proprio la relazione di Eulero, gestita naturalmente in maniere diverse a seconda delle età degli studenti, è un bellissimo esempio di cosa si può dire o fare sui poliedri anche senza bisogno di parlare di aree e volumi: con i più piccoli, il solo fatto di contare vertici, spigoli e facce è un compito niente affatto banale e che obbliga anche i bambini a osservare l’oggetto che hanno in mano e le sue caratteristiche (simmetria prima di tutto). Con i più grandi, la relazione di Eulero si presta a moltissime osservazioni, in primis il fatto che si tratta di una relazione di carattere topologico: se invece di partire da un poliedro (con le facce “dritte”) partissimo da un palloncino di gomma, su cui abbiamo disegnato dei punti (vertici) e degli archi (spigoli) che uniscono questi vertici e dividono il palloncino in un certo numero di regioni (facce)… continuerebbe a valere la relazione V-S+F=2.
Si possono poi esplorare alcune conseguenze di questa relazione: fra queste, alcuni risultati classici e ben noti (ad esempio il fatto, già citato, che i poliedri regolari sono 5), ma anche affermazioni che possono a prima vista apparire sconcertanti, come quella che abbiamo esaminato in questa scheda.
Ci sono tantissimi altri problemi che si possono porre ai ragazzi prendendo spunto proprio dal dodecaedro incontrato al Parco Mignone (oltre naturalmente a contare facce, vertici e spigoli, che è già di per sé un utile “esercizio di immaginazione”).
Ecco solo due esempi:
- È possibile, usando solo tre colori, colorare le facce pentagonali di un dodecaedro in modo che due facce che si toccano lungo uno spigolo abbiano sempre colori diversi?
- I vertici di un cubo sono 8; i vertici di un dodecaedro sono più di 8: come è possibile, fra i vertici di un dodecaedro, sceglierne otto in modo che siano proprio i vertici di un cubo?
Per quel che riguarda la prima domanda, tre colori non bastano per colorare il dodecaedro. Infatti, immaginiamo di colorare di rosso la faccia superiore; per le 5 facce che toccano la faccia superiore possiamo allora usare solo i due colori giallo e blu, e questi devono alternarsi perché le facce si toccano; ma… se un numero dispari di facce si alternano tra il giallo e il blu non riusciremo mai a chiudere il ciclo senza averne due dello stesso colore che si toccano!
La seconda domanda è più complicata e vi rimandiamo qui a una figura. In effetti ci sono ben 5 diverse maniere di scegliere otto dei 20 vertici di un dodecaedro in modo da ottenere i vertici di un cubo: gli spigoli di questo cubo, che sono dodici, compaiono come diagonali delle facce del dodecaedro. Se poi… li mettiamo tutti insieme… si ottiene un bellissimo oggetto di cui vediamo qui sia la fotografia di un modello reale (con tutte le sue imperfezioni) sia un modello virtuale.
Alcune proposte di attività reperibili in rete
Con o senza Eulero, i possibili suggerimenti sul tema dei poliedri sono proprio tanti. Ci limitiamo qui a segnalare alcune proposte del Centro matematita che si possono trovare in rete.
Diamo forma alla geometria – regolari o no
Diamo forma alla geometria – grande o piccolo
Si tratta di due kit di laboratorio predisposti dal Centro matematita e disponibili per il prestito alle scuole.
I percorsi descritti (uno sul tema della regolarità, l’altro sul tema della misura) sono stati pensati per la scuola secondaria di primo grado, ma sono utilizzabili anche (magari con qualche taglio, o con qualche aggiustamento) nelle ultime classi della scuola primaria e nel biennio della scuola secondaria superiore.
Per i ragazzi più grandi, alcune proposte legate alla relazione di Eulero si possono trovare in questo libro (di M. Bertolini, G.Bini, P. Cereda e O. Locatelli) della collana Quaderni di laboratorio dei Quaderni a Quadretti; il volume raccoglie il materiale destinato agli insegnanti relativo ad altri due kit di laboratorio diretti invece al triennio delle scuole secondarie di secondo grado.
Infine, ecco una proposta per la scuola primaria.
Il cantiere delle scatole: un modo diverso di fare geometria
Il percorso descritto copre i primi sei anni di scolarità, dalla prima elementare alla prima media, e descrive un bellissimo approccio ai poliedri… partendo dalle scatole.
